s1081535 作業4

   

一、 作業說明 

• 計算輸入圖像的傅立葉轉換結果，以灰階256色圖像方式呈現出頻譜大小與相位角角度。
• 利用Gaussian Low-Pass Filter對輸入圖像進行處理，並輸出平滑後圖像。

二、 作業環境

• ＭacOS Monterey 12.2
• PyCharm 2019.3.3
• Python 3.8
• OpenCV 4.5.5

三、 實作功能與方法

傅立葉轉換

利用 numpy.fft.fftshift (numpy.fft.fft2( input_image ) )計算二維離散傅立葉變換，並將zero-frequency 分量移動到頻譜的中心，得𝐹(𝝁, 𝜈)。

• numpy.fft.fft2( ) 通過快速傅裏葉變換 (FFT) 計算 M-dimensional 數組中任意軸上的 n 維離散傅裏葉變換，默認情況下，變換是在輸入數組的最後兩個軸上計算的，即二維 FFT。
• numpy.fft.fftshift( ) 為列出的所有軸交換half-spaces(默認為全部)。請注意，僅當 len(x) 為偶數時，y[0]才是奈奎斯特分量。

計算頻譜大小

根據頻譜大小計算公式，𝑆𝑝𝑒𝑐𝑡𝑟𝑢𝑚=|𝐹(𝝁, 𝜈)|，利用abs( 𝐹(𝝁, 𝜈) )得出頻譜大小。

• 由於FFT計算完成後之結果高頻數據集中於中心，低頻數據分散於四角，需要透過numpy.log( )運算以顯示結果。

計算相位角角度

根據相位角角度計算公式，

使用numpy.arctan2( 虛部, 實部）再將結果單位弧度轉換為角度，得出最終結果。

高斯平滑處理

根據Frequency Filter步驟利用Gaussian Low-Pass Filter處理圖像。

1. 輸入M*N的圖像
2. 對該圖像做Zero-Padded，將圖像大小擴大成2M*2N (𝑓𝑝(𝝁, 𝜈) )，並將圖像保持在左上角
3. 確保傅立葉轉換時頻譜置中，將𝑓𝑝(𝝁, 𝜈) 奇數點乘以-1
4. 對𝑓𝑝(𝝁, 𝜈) 做離散傅立葉轉換得到𝐹(𝝁, 𝜈)
5. 計算𝐷(𝝁, 𝜈)與𝐻(𝝁, 𝜈)，取得G(𝝁, 𝜈)
• 根據兩公式，
• 
• 
• 設定大小為2M*2N的Gaussian Low-Pass Filter並將中心點定位在M*N，得出𝐻(𝝁, 𝜈)。
• 再根據公式，G(𝝁, 𝜈)=𝐹(𝝁, 𝜈)＊𝐻(𝝁, 𝜈)計算後得出G(𝝁, 𝜈)。
6.  對結果做IDFT所得即為Gaussian Low-Pass Filter在頻域作用後的結果
7. 將大小裁減為原始大小M*N，保留左上角圖像部分

＊自己的方法＊使用fftshift代替步驟2和3，利用Gaussian Low-Pass Filter處理圖像。

四、 執行結果

第一部分

第二部分